Le pagine della topografia

	LE PAGINE DELLA TOPOGRAFIA Attività svolta presso l'ISTITUTO TECNICO STATALE Via S. Castagnola, 11 - 16043 Chiavari (GE) Italy

	NAVSTAR GPS
	Point positioning
	Differential positioning
	Principio di base
	Nuisance parameters
	La sezione spaziale
	La sezione controllo
	La sezione utenza

	Modalità per la misura
	Misura per pseudoranges
	Misura di fase
	Equazioni indifferenziate
	Equazioni alle differenze singole
	Equazioni alle differenze doppie
	Equazioni alle differenze triple

	Uso geodetico e topografico
	Sistemi di riferimento
	GPS statico
	GPS Cinematico
	Stop & go
	Determinazione dell'ambiguità
	Vantaggi dell'uso
	Conclusioni

"Navigation Satellite Timing And Ranging Global Positioning System" cioè: sistema di posizionamento globale mediante misure di tempo e distanza rispetto a punti (satelliti in navigazione) noti come ubicazione nello spazio definito da una terna fissa e geocentrica di assi cartesiani.

Il sistema si occupa della localizzazione di punti con alte precisioni ed è utilizzabile per usi civili (navigazione e fototopocartografia).

La costellazione di satelliti utilizzata è la NAVSTAR che rappresenta una “rete” di satelliti orbitanti attorno alla terra dai quali si ricevono i segnali trasmessi in ogni punto della superficie terrestre.

La determinazione delle coordinate avviene per tutti i punti appartenenti o prossimi alla superficie terrestre ne rispetto di un sistema di coordinate di riferimento sempre uguale.

Le modalità operative utilizzate sono 2 a seconda della precisione che si desidera conseguire nella determinazione delle coordinate appunto.

A) La prima modalità e quella del “Point positioning” cioè del posizionamento assoluto di un punto singolo nel sistema di riferimento scelto con precisione dell’ordine di qualche metro.

B) La seconda moidalità è quella del “Differential positioning” o “Relative positioning”. Con questa seconda modalità si determina la posizione di un punto rispetto a un altro punto considerato noto. In pratica viene determinato il vettore relativo fra i due punti, detto “baseline”, nello spazio (tre dimensioni). La precisione raggiunta è in genere dell’ordine di qualche milionesimo della lunghezza del vettore. Trasportata sulle tre coordinate essa precisione è pari o superiore a quella delle operazioni topografiche classiche. Il vettore determinato con questo metodo (baseline) può variare da pochi metri a diverse decine di chilometri (con i ricevitori GPS monofrequenza) o centinaia di chilometri (con i ricevitori GPS a doppia frequenza).

Il metodo di posizionamento è basato sulla conoscenza dell'ubicazione dei satelliti in orbita dai quali si eseguono osservazioni per il calcolo della distanza da punti a terra.

Le tre coordinate, Xs(t), Ys(t), Zs(t) del centro del satellite in movimento, in funzione del tempo, sono note rispetto il riferimento cartesiano geocentrico (ovvero con origine nel centro di massa della Terra), con l’asse Z diretto secondo l’asse di rotazione terrestre e gli assi X e Y rigorosamente collegati punti sull’equatore.

Nota la distanza, in un dato istante t, fra un punto incognito P a terra (Xp, Yp, Zp) e il centro del satellite S è possibile scrivere la relativa eguaglianza di osservazione

Occorre a questo punto considerare la misura del tempo per far si che la distanza sia calcolata tra i due punti nelle stesso istante. In genere l’istante di tempo t considerato a terra è diverso dall’istante t sul satellite di una quantità pari allo sfasamento fra l’orologio del ricevitore e quello del satellite. Nell’uguaglianza che si può scrivere (come detto in precedenza) compaiono 4 incognite: Xp, Yp, Zp e dt.

Potendo scrivere quattro delle precedenti uguaglianze considerando 4 satelliti diversi ecco che si potrebbe risolvere un sistema di 4 equazioni in 4 incognite.

La determinazione in realtà avviene attraverso la contemporanea conoscenza della posizione rispetto a 5 satelliti in quanto esistono altri fattori “secondari” o “di disturbo” (noise): lo sfasamento temporale dt, ad esempio, non è lo stesso tra i satelliti così come non sono perfettamente conosciute le orbite satellitari.

Il sistema GPS è composto da tre sezioni distinte: sezione spaziale, sezione di controllo e sezione utenza.

I satelliti orbitano a 20200 km circa dalla Terra. Sono ubicati su 6 piani orbitali intervallati di circa 60 gradi sessagesimali; il periodo di rivoluzione attorno alla Terra è di 12 ore circa.

La trasmissione dei dati avviene con continuità ogni secondo e contiene un segnale di tempo, le effemeridi orbitali (coordinate di posizione Xs(t), Ys(t), Zs(t)) e le informazioni varie quali il proprio numero di identificazione e lo stato di “salute”. Tutti i dati trasmessi sono in codice binario e modulato su due frequenze portanti radio (f₁ = 1575 MHz, f₂ = 1228 MHz, corrispondenti alle lunghezze d’onda L₁ =19 cm e L₂ = 24 cm).

Due sono i codici utilizzati: il codice C/A (“coarse acquisition”, ovvero “acquisizione grossolana”) e il codice P (“precision”). Le relative frequenze di modulazione sono rispettivamente 1 e 10 Mhz.

Le “finestre” di cielo libero per le osservazioni dipendono dai diagrammi di oscurazione eseguiti sui punti da rilevare. Attraverso i diagrammi di oscurazione è quindi possibile programmare le sessioni di misura. Le sessioni di misura sono possibili solo con la contemporanea presenza in cielo di almeno 5 satelliti. Vanno considerati “utili” solo i satelliti non oscurati e con angolo di elevazione sull’orizzonte superiore a 13º in quanto sotto tale elevazione il segnale giunge troppo disturbato dallo spessore di atmosfera attraversato.

Il programma che si utilizza per le pianificazioni delle sessioni in genere indica la bontà della configurazione geometrica con la quale i satelliti si presentano.

Pensando per un momento, e cioè fissando il tempo all'istante t, i satelliti rappresentano dei “trigonometrici” ed è quindi meglio che essi siano il più possibile uniformemente distribuiti). Il parametro fornito è in genere il PDOP (Position Dilution Of Precision, ovvero “calo di precisione nel posizionamento”). Buoni risultati si ottengono con un PDOP non superiore a 7. Altri possono essere i parametri quali ad esempio il VDOP o l'HDOP rispettivamente riguardanti la precisione verticale e la precisione orizzontale di posizionamento. Progettando le sessioni di misura occorre pertanto la conoscenza del PDOP oltre al numero di satelliti.

La sezione di controllo è preposta al controllo appunto del funzionamento dell'intero sistema e all'invio delle eventuali correzioni da apportare alle varie orbite o addirittura allo spegnimento delle trasmissioni per alcuni satelliti causa motivi di necessità o causa guasti.

La sezione è composta da 5 stazioni "a terra" di tracciamento “tracking”. L'allocazione di queste stazioni fisse è in punti di posizione geografica nota, sull'equatore terrestre. La loro distribuzione è longitudinalmente uniforme. Il tracking segue con continuità i satelliti le cui orbite sono riferite nel sistema WGS84. (Il “sistema convenzionale terrestre” è denominato “World Geodetic System 1984” o semplicemente WGS84).

Una delle 5 stazioni principali di controllo detta “master” è situata a Colorado Springs negli USA. La stazione “master” riceve i dati dalle stazioni di tracking, li elabora calcolando le effemeridi per i vari satelliti e le correzioni da apportare periodicamente agli orologi. La "master" è dotata di un orologio atomico all’idrogeno, migliore di quelli al cesio o al rubidio a bordo di tutti i satelliti.

Tre delle 5 stazioni principali sono stazioni di trasmissione e si occupano di trasmettere appunto i dati ricevuti dalla stazione “master”.

La sezione utenza è composta dai ricevitori e dai programmi usati dagli utenti del sistema GPS.

I ricevitori GPS sono apparecchi radio sintonizzati costantemente e solo sulle frequenze del sistema, essi sono dotati di programmi di decodifica del segnale ricevuto e di elaborazione dei segnali decodificati. Generalmente sono dotati si una memoria l’archiviazione temporanea dei dati.

L’antenna radio si ubica sulla verticale del punto da determinate a mezzo di un treppiede di un pilastrino e si collega mediante il relativo cavo al ricevitore. Il ricevitore, che a volte è integrato con l’antenna, comprende inoltre un orologio di precisione (normalmente al quarzo e di elevata qualità), una memoria magnetica, un programma per il controllo del processo di acquisizione dati e la batteria di autoriconoscimento del sistema. Il “controller”, in genere collegato con un cavo al ricevitore, ha funzioni di controllo delle operazioni da effettuarsi e dei settaggi da imporre. Infine, l’alimentazione del sistema a terra avviene generalmente attraverso una batteria esterna ricaricabile e dalla durata di almeno 10 ore.

- funzionamento sulla frequenza f₁ “monofrequenza”, o sulle due frequenze;

I programmi per utenti GPS comprendono sottoprogrammi per progettazioni di sessioni di misura e per l’elaborazione a posteriori “post processing” .

Il post processing avviene per i dati registrati dai ricevitori e riversati sul calcolatore.

Le misure attraverso le quali si calcolano le coordinate dei punti sono raggruppate in due categorie: misure di pseudo ranges cioè pseudo distanze e misure di fase sulla portante “carrier phase”. I procedimenti sono completamente diversi e attraversi essi si ottengono due livelli di precisione differenti.

Il metodo è il più semplice e con esso si ottengono risultati con bontà di qualche decina di metri. Il metodo consiste in pratica nella risoluzione di un problema di intersezione all’indietro in tre dimensioni con sole misure di distanza e con i satelliti che fungono da “trigonometrici”.

Alla misura della distanza tra satellite e centro di fase del ricevitore si perviene conoscendo il tempo di percorrenza di un impulso. Una data stringa di segnale, in codice e modulato sulla portante, è trasmesso dal satellite verso terra. Il codice, o la successione di numeri binari che arriva dal satellite, viene confrontato con una copia dello stesso codice generata nel ricevitore. In questo modo è determinato immediatamente lo sfasamento di tempo fra i due codici, ovvero il tempo necessario per portare i due segnali a sovrapporsi perfettamente.

La pseudo distanza è la distanza tra il satellite e il ricevitore trovata con la relazione s=vt.

Più dettagliatamente, ogni misura di “pseudo distanza” genera un’equazione nella quale però la velocità non è costante a causa degli strati atmosferici differenti incontrati dal segnale durante il suo viaggio ed inoltre l’istante di arrivo dell’impulso è misurato a terra e differisce dal corrispondente istante valutato con l’orologio sul satellite dello sfasamento fra i due orologi dt.

Per scrivere le 4 equazioni, come precedentemente detto per le incognite presenti Xp, Yp, Zp e t, occorre la presenza simultanea di 4 satelliti.

La conoscenza delle coordinate dei punti con pseudo ranges è dell’ordine di qualche decina di metri sia planimetricamente e sia sulla quota ed è insufficiente per i fini topografici e geodetici.

La determinazione di posizione ottenuta in tempo reale, con un solo ricevitore, è particolarmente adatta per la navigazione.

Nel metodo per misure di fase si agisce sull’onda radio portante depurandola dal segnale di codice ad essa “sovraimpresso”. La misura consiste appunto nel confronto della fase della portante “carrier phase” con quella di un segnale di pari frequenza generato nel ricevitore. La precisione è maggiore rispetto a quella della precedente tecnica perchè si opera su un segnale di lunghezza d’onda molto inferiore (19 o 24 cm anziché 30 o 300 m).

Occorre considerare ora che l’onda proveniente dal satellite è ricevuta a terra con una frequenza diversa da quella di emissione (che invece è identica a quella generata nel ricevitore) per l’effetto doppler dovuto alla velocità relativa fra satellite e ricevitore. Confrontando però le due onde si ha un’onda detta “beat signal”.

L' “osservabile” cioè la fase misurata è definita come la differenza fra la fase dei segnale proveniente dal satellite e quella dei segnale generato nel ricevitore. La fase misurata coincide anche con la fase del "beat signal" ed è definita a meno di un numero intero di cicli N, incognito, detto “ambiguità”.

La misura si esegue seguendo il satellite per un certo tempo senza perdere il suo segnale. A a partire dall’istante dei contatto iniziale la grandezza fase varia con continuità e l’indeterminazione N resta costante sul valore iniziale.

Può quindi essere scritta una equazione per la distanza nella quale compaiono 5 incognite: Xp, Yp, Zp, dt e N. Alcuni parametri presenti in essa si assumono come noti ma in realtà essi sono affetti da incertezze: la lunghezza d’onda m è data dal rapporto fra la sua velocità di propagazione, di dubbia conoscenza a causa dell’attraversamento della ionosfera e della troposfera, e la sua frequenza che può essere considerata stabile inoltre le effemeridi orbitali Xs, Ys e Zs non sono conosciute con precisione come si desidererebbe.

Se ci si riferisce alla misura di fase eseguita da un ricevitore a terra, in un dato istante e rispetto un satellite è possibile scriverne l'equazione relativa nella quale lo sfasamento temporale va considerato scisso in due sfasamenti rispettivamente del ricevitore e del satellite nel rispetto al tempo “assoluto”. Nel caso nostro il tempo assoluto è il tempo contato dal Naval Observatory di Washington. Nell’equazione, inoltre, la fase viene misurata dall’istante del contatto iniziale.

La fase, comunque, è data dal numero di cicli contati a partire dall'istante iniziale sommati ad una frazione di ciclo. Se viene perso, anche per un istante, il contatto con il satellite, ad esempio per l’accovacciarsi di un gabbiano sull’antenna ricevente, si determina il cosiddetto “cycle slip”, cioè un’interruzione nel conteggio dei numero di cicli. La sessione di misura risulta così spezzata e non sarà permessa l’elaborazione delle misure eseguite fino a quel momento unitamente a quelle eseguite successivamente. Solo tecniche sofisticate e applicabili in presenza di segnali rilevati da oltre 4 satelliti, il cycle slip può essere “recuperato” consentendo quindi l'elaborazione dei dati in un’unica sessione.

Le incognite che compaiono nella equazione indifferenziata sono: Xp, Yp, Zp, gli “offset” degli orologi dt (trattandosi in questo caso di un posizionamento di precisione, va considerato un diverso offset per ciascun satellite) e l’ambiguità iniziale N.

Si pensi ad un secondo ricevitore operante contemporaneamente al primo: in questa maniera si ha la possibilità di eseguire nello stesso istante due misure di fase, una per ogni ricevitore e allo stesso satellite potendo quindi scrivere due equazioni di distanza.

Si definisce differenza singola (“single difference”, SD) la differenza fra le fasi misurate su uno stesso satellite nella medesima “epoca” dai due ricevitori.

L’equazione di osservazione “alla differenza singola” è una combinazione lineare (differenza appunto) delle due equazioni che si possono scrivere e nella quale scompare lo sfasamento temporale del satellite, che è il medesimo nelle due equazioni di cui si è eseguita la differenza. Nell'equazione si viene ad avere un’incognita in meno rispetto al caso trattato attraverso l’utilizzo di un solo ricevitore.

Si pensi ora alla possibilità di ricezione contemporanea del segnale da due satelliti diversi sempre con la configurazione precedente di due stazioni riceventi. In questo modo si possono scrivere due equazioni alle differenze singole in riferimento ai 2 satelliti. Eseguendo la differenza fra le due equazioni alle differenze singole, si ottiene un'equazione definita come differenza doppia o “double difference” (DD). Nell'equazione che si ottiene non sono più presenti gli sfasamenti temporali degli orologi dei due ricevitori.

Infine si pensi alla possibilità di condurre due osservazioni di differenza doppia in due differenti istanti cioè durante la stessa sessione facendo cioè in modo che l’ambiguità rimanga costante sul valore iniziale. In queste condizioni è possibile eseguirne la differenza, definita differenza tripla, o “triple difference” (TD), ottenendo un’equazione di nuovo tipo, ma sempre combinazione lineare delle precedenti. La procedura descritta permette di eliminare l’incognita costituita dall’ambiguità iniziale. La condizione necessaria per quanto detto è che non ci siano perdite di segnale dei satelliti fra i due istanti differenti. Gli istanti di tempo devono essere abbastanza distanti affinchè si possano avere soluzioni numeriche affidabili. La sessione di misura deve avere quindi una certa durata e la procedura è della GPS statico.

Nell’equazione alla tripla differenza che è possibile scrivere compaiono solo 3 incognite: le 3 coordinate di uno dei punti rispetto all’altro considerato fisso (detta appunto tecnica differenziale).

La determinazione delle incognite risulta possibile attraverso l’utilizzo di almeno 4 satelliti. Considerando infatti i satelliti a 2 a 2 essi forniscono 4x3/2!=6 accoppiamenti distinti, i quali, presi a 2 a 2 forniscono le tre equazioni alle differenze triple indispensabili per la risoluzione del problema.

Ottenuta posizione relativa di un ricevitore rispetto all'altro con una tripletta di coordinate cartesiane, è possibile l'introduzione di tali valori come valori di prima approssimazione nelle equazioni alle differenze doppie determinando così il valore delle ambiguità, e così via, risalendo con approssimazioni successive alle equazioni indifferenziate.

Attraverso successive misurazioni di fase si può pervenire ad una precisione nel posizionamento relativo dell’ordine di alcune parti per milione della distanza tra i due punti. La precisione del milionesimo della distanza è considerata, attualmente, lo “standard” ideale del procedimento.

La precisione necessaria per la determinazione della posizione dei punti per scopi geodetici e topografici è ottenibile operando con tecniche GPS che considerano la misura di fase e il differenziale.

Il risultato della misura eseguita con due ricevitori ubicati su due punti è il vettore posizione relativa di un punto rispetto all’altro cioè la “baseline”.

Il sistema di riferimento normalmente utilizzato è composto dalla terna con l’asse z diretto secondo la normale locale all’ellissoide e gli assi x e y tangenti rispettivamente al meridiano e al parallelo passanti per il punto T. Il sistema prescelto è equivalente a quello geocentrico WGS84 a meno di una rototraslazione rigida d’assieme. Il vettore “baseline” TP è inoltre invariante al cambiare del sistema di riferimento.

Le coordinate XT, YT, ZT si assegnano al punto assunto T come fisso e chiamato “punto traslocante”. Può trattarsi di un punto le cui coordinate siano note oppure può trattarsi di un punto al quale possono essere assegnate coordinate convenzionali ottenute con la soluzione in pseudo ranges in point positioning. In questo secondo caso l’incertezza sulle coordinate del punto traslocante determina una traslazione complessiva e costante di tutti i punti con coordinate relative riferite ad esso.

Questa “indeterminazione di traslazione” non limita l’utilizzabilità dei risultati in quanto è comunque necessaria una trasformazione di coordinate per passare dal sistema di riferimento utilizzato a quello della cartografia esistente. In Italia, ad esempio, sono tra gli altri utilizzati il sistema nazionale “M. Mario 1940 / Gauss - Boaga” e il sistema “Bessel Genova 1902 / Cassini - Soidner” per il Catasto.

In Italia l'IGM "Istituto Geografico militare", per punti con intensità di circa 20 km x 20 km, ha calcolato tali trasformazioni. Utilizzando come punto traslocante un punto noto nei due sistemi, WGS84 e locale, si potranno così utilizzare i parametri di trasformazione di solito riportati sulle monografie dei punti messe a disposizione dall'IGM.

I modi d’impiego del GPS in Geodesia e Topografia sono essenzialmente tre, dei quali gli ultimi due si differenziano tra loro solo per le modalità operative: il GPS modo statico, il GPS modo cinematico e lo “stop & go”.

a) Il GPS modo statico permette di eseguire sessioni di misura di durata da un minimo di 30 minuti ad alcune ore con ad esempio 2 ricevitori fissi sugli estremi della “baseline” da determinare. Il criterio per la risoluzione del problema è quello “alle differenze triple”. Per questo occorre ricevere il segnale di almeno 4 satelliti comuni ai due ricevitori e non perderne il segnale durante la sessione. La precisione raggiungibile è dell’ordine di 10^-5 ÷ 10^-6•D dove D è la lunghezza del vettore baseline.

Occorre dire che per baselines corte (< 15 Km) sono sufficienti ricevitori monofrequenza e sessioni dell’ordine dei 20÷ 30 minuti;

Per basi basi medie (15 ÷ 500 Km) sono necessari ricevitori in doppia frequenza i quali permettono il confronto tra le due frequenze le quali hanno comportamenti diversi. In questo caso le sessioni devono essere più lunghe cioè di almeno di 1 ora.

La base lunga (> 500 Km) è necessaria la modellazione “a posteriori” delle orbite occorre cioè la conoscenza delle effemeridi precise dei satelliti.

Con il metodo statico si effettuano le misure geodetiche (basi > di 100 km)propriamente dette. Le reti GPS possono essere a maglie triangolari come le reti trigonometriche classiche.

b) Il GPS modo cinematico permette, tenendo fisso uno dei due ricevitori e trasportando il secondo, detto “rover”, sui punti da rilevare. I punti devono essere rilevati seguendo il percorso previsto con continuità di movimento ed eseguendo determinazioni di posizione a intervalli di tempo regolari.

Se nel modo cinematico il “rover” è portato a mano da un operatore, senza continuità di movimento bensì occupando per pochi istanti ciascuno dei punti da rilevare, allora il metodo prende il nome di “stop & go”. Quest’ultimo è particolarmente adatto al rilievo di dettaglio.

Con il metodo cinematico non è possibile ottenere la soluzione per differenze triple in quanto i ricevitori non sono fissi sui punti estremi delle baselines. L’applicabilità del metodo è garantita solo se inizialmente è determinata l’ambiguità N.

- eseguendo una sessione GPS statica preliminare su due punti noti, anche molto vicini, attraverso la quale è possibile ricavare il valore di N, e quindi partire con il “rover” per il percorso stabilito;

- applicando il metodo dello scambio di antenne “antenna swap”, con il quale le antenne vengono tenute per alcuni minuti sugli estremi di una base corta, quindi scambiate di posizione e mantenute così per qualche minuto ancora, dopo di che si parte con il “rover”. In questo caso si ottengono equazioni di forma simile a quelle alle triple differenze ma con alcuni segni cambiati. Da queste equazioni risulta possibile la determinazione dell’ambiguità anche non conoscendo la posizione relativa dei due punti iniziali, e con una sessione breve.

Durante il rilievo col metodo del GPS cinematico è comunque necessario non perdere mai il contatto con i satelliti, e ciò costituisce purtroppo una grossa limitazione operativa.

Il GPS cinematico o “stop and go” è adatto alle misure topografiche e in particolare ai rilievi di dettaglio e con esso non si ottiene una rete compensabile ma un insieme di corte baselines che fanno tutte capo al punto traslocante. La precisione, centimetrica, è inferiore a quella del metodo statico ed è comunque sufficiente per quasi tutte le applicazioni topografiche.

Un vantaggio è rappresentato dalla semplicità d’uso che non richiede personale qualificato ma comunque competente in materia topografica.

Un secondo vantaggio è quello per il quale durante il rilievo non necessita la visibilità mutua dei punti collegati da una baseline.

Non trascurabile è il fatto che i metodi di misura con GPS non risentono delle condizioni atmosferiche e di visibilità.

Per contro, esistono anche alcuni problemi pratici, che limitano di fatto l’applicazione dei metodi.

Per il processo di rilievo con metodi GPS le stazioni riceventi richiedono la ricezione del segnale trasmesso dai satelliti. Per questo necessita l'assenza di ostacoli fisici al di sopra dell’antenna e in un cono di angolo al vertice di 150° circa, ovvero 15º sopra dell’orizzonte.

Tutto il sistema è nelle mani del Ministero della Difesa degli Stati Uniti, che si è riservato il diritto di “interrompere” la trasmissione dei segnali o di falsarli volutamente in qualsiasi momento.

Occorre infine ricordare che il sistema GPS non sostituisce completamente i metodi di rilevamento classici, sempre insostituibili quando la ricezione dei segnali sia impedita da ostacoli fisici.

Inoltre molti problemi della topografia classica possono essere rivisti alla luce della facilità con la quale si possono determinare le coordinate di alcuni punti trigonometrici ai quali appoggiarsi con i rilievi tradizionali appunto.

L'integrazione fra GPS e topografia classica è perfettamente realizzabile e richiede comunque un maggior grado di preparazione dei topografi.

LE PAGINE DELLA TOPOGRAFIA

IL GLOBAL POSITIONING SYSTEM